PILLOLE ENIGMISTICHE

                                                  

Ci sono due alberghi dotati d'un numero infinito di camere: quello di Cantor è strutturato su N piani, e ciascun piano consta di N camere; quello di Hilbert, invece, si compone di N camere su un unico piano (N, quindi, esprime un infinito). Domanda: come si posson traslocare i clienti dall'albergo di Cantor a quello di Hilbert in modo che non vi sia alcun cliente a rimanerne fuori? Se l'albergo di Cantor dispone complessivamente di N^2 camere inizialmente tutte occupate, mentre quello di Hilbert di sole N, sarà lecito pensare che N^2 = N? Risulta possibile, in termini più rigorosi, stabilire una corrispondenza biunivoca fra due insiemi apparentemente di cardinalità diverse?

 

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Il primo teorema di Godel afferma che se un sistema formale, F, è corretto e coerente, allora è incompleto; il secondo, invece, stabilisce che un sistema di questo tipo, che è sufficientemente potente, non può dir di sé stesso d'essere corretto. Un sistema si dice corretto se in esso son dimostrabili solo verità (non si può dimostrare che 2+2=5, uguaglianza chiaramente falsa; tutt'al più la si può refutare!); coerente se non s'incappa in delle contraddizioni; sufficientemente potente se è autoreferenziale; completo se è consistente, cioè se in esso non si ravvisano frasi né dimostrabili né refutabili (in altri termini, indecidibili).

 

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Riporto, di seguito, il   testo dell'enigma: « Tre oracoli divini A, B, e C sono chiamati, in un qualche ordine, Verace, Mendace e Imprevedibile. Verace dice sempre il vero, Mendace dice sempre il falso, mentre Imprevedibile decide se essere sincero o meno in modo completamente casuale. L'obiettivo del gioco è determinare le identità di A, B, e C ponendo loro tre domande a cui è possibile rispondere con un 'si' o con un 'no'. Ogni domanda deve essere posta ad uno solo degli oracoli, che, pur comprendendo l'italiano, risponderà sempre nella propria lingua con le parole 'da' o 'ja'. Non si sa quale di questi termini corrisponda a 'sì' e quale a 'no'. Può essere che a qualche oracolo venga posta più di una domanda (o anche che non ne vengano poste affatto). Sia il contenuto che il destinatario della seconda domanda possono dipendere dalla risposta ricevuta alla prima (e sarà lo stesso per il terzo quesito).

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