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Categoria: PILLOLE ENIGMISTICHE
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Ci sono due alberghi dotati d'un numero infinito di camere: quello di Cantor è strutturato su N piani, e ciascun piano consta di N camere; quello di Hilbert, invece, si compone di N camere su un unico piano (N, quindi, esprime un infinito). Domanda: come si posson traslocare i clienti dall'albergo di Cantor a quello di Hilbert in modo che non vi sia alcun cliente a rimanerne fuori? Se l'albergo di Cantor dispone complessivamente di N^2 camere inizialmente tutte occupate, mentre quello di Hilbert di sole N, sarà lecito pensare che N^2 = N? Risulta possibile, in termini più rigorosi, stabilire una corrispondenza biunivoca fra due insiemi apparentemente di cardinalità diverse?

 

Una soluzione potrebbe essere quella di far corrispondere ad ogni coppia di coordinate (X,Y), dove X indica il numero della camera ed Y il rispettivo piano, una potenza d'un numero primo. Zeresimo piano: (0,0) -> 2, (1,0)->2^2 (2,0)->2^3, ..., (N-1,0) -> 2^N. Primo piano: (0,1)->3, (1,1)->3^2, (2,1)->3^3, ..., (N-1,1)->3^N. In questo modo vien definita una corrispondenza biunivoca fra coppie di coordinate (le stanze dell'albergo di Cantor) e potenze di numeri primi (quelle dell'albergo di Hilbert), le quali, essendo a loro volta in corrispondenza con l'insieme dei numeri naturali (p^n -> n), stabiliscono transitivamente che la cardinalità del numero di stanze dell'albergo di Cantor debba esser pari a N. E quindi N^2 = N.

 

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